“自然数就是从1开始不停地加1所获得的数字。”“将它们称作自然的原因很简单，这些数字在人类身处的世界中无处不在。”“耳朵、眼睛、手指、四肢、飞鸟的翅膀、猎物的数量，这些最常见的东西正是自然数的起源。”“还有我们之前已经见过的，乌鲁克城的牧羊人记录羊群数量的楔形文字，以及古巴比伦泥板上的勾股数。”“从基数和序数的概念出发，最终形成了自然数的完整算术系统。”“1，1+1，1+1+1，…，如此持续，永无止尽，自然数是通过最初的数字1，以及无尽的+1得到的。”“为了更简便的进行书写和计算，人类赋予了这些数字新的名字，以及五进制、十进制、六十进制等等。”“但整个自然数的算术系统，实际上只需要最初的1和后继数+1的规则就能完成，其他的数字都不是必要的。”“嗯，以上的说法中还隐藏了一个缺陷。”从三头身的q版娃娃变成六头身体型的尤里卡突袭者号此刻正在宇宙中进行跃迁跳跃。它的双腿轻轻踩在蓝巨星表面耀眼的等离子火焰上，下一步便已然跳跃到了十几光年以外的另一颗恒星上。如果以具体的数值计算，移动速度至少有上百亿倍光速，眨眼之间就能从太阳系跳到几十光年外的北斗星系。天下武功，唯快不破。超越光速限制的超凡机动能力，再加上使用真空零点能的无尽能源。这两个条件形成了一道门槛，将生命体的力量与他们所能看到的世界分隔成了两个层次。在这个被毕达哥拉斯的神圣兄弟会统治着的世界中，能被称得上强者的存在至少也是生命4.0阶段的超光速生命体。“缺陷？”阿基里斯闻言歪了歪脑袋，粉色的眼瞳中露出思索的神色，分出一丝心神思考这个问题。她此刻正控制着尤里卡突袭者号沿着星系的一条旋臂向外跳跃。再次跳出去上千光年以后，她下意识地回头看去，通过上帝视角看向一路走来经过的那些恒星。随着她掌握的战斗力越发强大，她的观察能力也变得越来越强，能够看到远超过去的广阔视野。大半个星系数万亿光年的星空都在她的眼中清晰可见，她一路走来所经过的那些恒星都已然化为了尘埃，就像是被橡皮擦彻底抹除了一样。有人正在追杀他们。那是来自神圣兄弟会的人，对方是同样超越了光速限制的强大敌人，远比那些杂鱼大理石战舰要强大得多。阿基里斯根本看不到对方的本体所在，也看不到宇宙中有类似于超新星爆发、中子星碰撞之类的巨大能量爆发。她只能看到这片星系中体型数百万、上千万公里的巨大星辰就像是画板上的铅笔画一样被清易抹掉。不仅是那些星辰的本体，就连周围数光年范围内残余的引力波与电磁辐射都被彻底抹除。这种无形的攻击不仅仅是覆盖了一颗恒星，就像那句响彻星空的“尤里卡！”一样，每一次的攻击都在同时覆盖了至少几光年范围的星空。阿基里斯所在的这片星系总共有六条旋臂，如今这条旋臂的最外围区域已经变得明显暗淡了下去，数百万颗明亮的巨星突然消失无踪。这场危险的追击战声势并不浩大，反而充斥着无声无息的静谧。就像是身在伸手不见五指的大海深处，只能从黑暗中窥见的些许残影去揣测那隐藏在黑暗海水中的可怕怪物。“主角的战斗力升级了，遇到的敌人战斗力也会随之升级，这一点很合理吧。”李恒并不急迫，任由阿基里斯思考着有关于自然数的算术问题，一手撑着下巴道：“类似这样的战斗力飞跃你还要经历很多次，每一次『尤里卡』都会让这台超级机器人的力量得到一次巨大的提升。”“但这种提升对于打败最终boSS毕达哥拉斯并无什么实际作用，在这个世界里，他就是无穷之下的最强。”“这个世界里的其他人提升的每一分力量都会被叠加到毕达哥拉斯的身上，你也是一样，你越强大他就越强大。”这还怎么打？！阿基里斯脚下猛然用力，尤里卡突袭者这一次跳跃的距离突然暴涨，下一刻便已然跳到了数百万光年以外的另一个星系之中。暂时甩掉了身后那看不见的追击者，这让她获得了些许喘息的时间，皱着眉头低声吐槽道：“我越强他就越强，那我岂不是永远也打不过他？”李恒点点头肯定道：“没错，这个世界里的人永远也打不过毕达哥拉斯，就像有限永远达不到无限一样。”“想要打败他，必须掌握实在无穷的力量。”这战斗力飞跃也太夸张了，上一个世界还在星球表面打转，下一个世界就直接跳到无穷去了。阿基里斯心中腹诽，她试探着问道：“掌握了实在无穷的力量，我就能真正触碰到你所在的世界了吗？”李恒低头做出一个沉思者的表情，片刻后抬起头微笑道：“不能。”“无限的世界比有限的世界更复杂，实在无穷只是这个新世界的开始，后面要走的路还长着呢。”“阿基里斯，尤里卡突袭者的力量又提升了，看来你已经想明白这套算术系统的问题在哪里了。”“那么与此对应的，敌人的力量也要提升了。”阿基里斯闻言再次看向远处，毫不意外地发现自己之前所在的那片星空开始坍塌，那片星系六条长达数万光年的旋臂传递出仿佛死亡时的深沉哀鸣。时空的曲率被瞬间倒转，整片星系都沉入了那个深深的黑暗凹陷之中，再也没有一丝光芒。一个星系就这样简简单单地在她眼前被彻底毁灭了。控制着尤里卡突袭者号再一次飞跃，跳到了几百万光年外的另一个星系，她接着回答道：“是，我发现这些自然数里面没有零。”“如果自然数从1开始，那么零不会是任何数的后继数，也就不是自然数中的一员。”“我们计算时使用的位值制，那些数字都需要用零来表示某个位置的空缺。”这种计数规则对现代人而言习以为常，但最初的数字零却不可能是从天而降的。无论是一一对应的基数概念，还是有序排列的序数概念，似乎都用不到这个代表着空无一物的数字。李恒打了个响指道：“没错，在古希腊的数学中是没有零的。”“不仅如此，他们也没有负数的概念。”“在古希腊时代，数学、哲学思想与现实中的测量是紧密联系在一起的，几何就是丈量土地的意思。”“正因如此，无法写成两个自然数之比的无限不循环小数才会那么奇怪，人怎么可能在现实中测量出一个无法数尽的长度？”“数字被用来表示线段的长度、图形的面积、物体的体积，这些事物显然不会需要用到负数。”“至于空无一物的零，引入这个数字会让古希腊人遇到哲学上的疑难。”“古希腊人知道分数，当然会做除法。”“一个自然数乘以自身的倒数就能返回到最初的1，越大的自然数，其倒数就越小。”“但如果把0当做自然数的一员，0的倒数又是什么？”“在这里，麻烦的∞又出现了。”零和无穷是紧密联系在一起的两个概念。它们都在现实中找不到与之对应的具体事物，与无理数一样属于更高层次的抽象。零表示空无一物的虚无，是什么都没有的“无”。世界上一切能被人感受到的事物显然都是具体存在着的，代表着“有”，没有能与0对应的事物。因此0这个数字是很不自然的，很多人都不认为它属于自然数的范围，需要单独讨论。1\/0=∞、2\/0=∞、n\/0=∞，当零作为除数时，将会得出0x∞等于任意自然数的矛盾结果。对于古希腊人来说，这种不清晰的矛盾之处是不可接受的。他们喜欢严谨的逻辑推理，这让他们掌握了其他文明没有掌握的更高层次抽象思维，发现了无理数的存在。但这种严谨性也让古希腊人拒绝使用那些自己所不“知道”的概念，比如0和∞。知道和清晰明了的理解是不一样的。现代文明的普通人都具有区分两种不同的知道以及“知道”那些无法理解的事物的能力。大多数人都知道量子力学，能真正理解的却没几个。但区分两种“知道”的能力完全是现代的，古希腊人无法做到这些，或者不愿这样做。他们要求事物是纯粹的，并且觉得如果人不能真正理解它就无法知道它。因此，他们的数学不包括0和∞不是偶然的。古希腊人与现代人的这两种不同思想并无高下之分，纯粹是不同的时代使然。古希腊时期人类的知识体系还很简陋，那些聪明人完全可以做到掌握所有领域的知识，成为博学的全才。但在知识与信息都大爆炸的信息时代，孱弱的人脑可没能力真正理解世界上所有的知识。公元前三世纪被战火毁灭的亚历山大图书馆藏着70多万卷图书，但这些书籍上记录的知识与现代互联网所容纳的信息量相比不过是沧海一粟罢了。李恒这时伸出手，向着身旁忙着逃命的白发女孩递过去。“《婆罗摩修正体系》，作者婆罗摩笈多？”阿基里斯看着书籍封面上的这个名字。“嗯，你小时候学到的阿拉伯数字其实是印度人发明的，数字0就是他的杰作。”“在你那颗星球记录的历史上，婆罗摩笈多是第一个将零作为一个数字进行完整描述的人。”亚里士多德说过一句话：吾爱吾师，但我更爱真理。此外，他还说过另一句话：无限的本质就是缺失，不是完美的缺失，而是有限的缺失。作为希腊三杰的最后一个，亚里士多德的哲学思想与自己的老师完全是相反的。柏拉图的洞穴之喻已经表明了他的哲学思想，他认为人类所能感受到的经验世界只是纯粹理念的投影。这个想法用在无穷上就变得很美妙了，人类的感官所能体验到的有限世界只是真实存在的无穷实体投下的影子。柏拉图是最早持有实无穷观点的人。但亚里士多德不认可他老师的这个观点，这位哲学家持有潜无穷的观点。古希腊人的这种哲学思想让他们拒绝使用混乱的、不可理解的无穷，因此也就没有发明数字0和完整的现代位值制。虽然还有着其他种种复杂的原因，但古希腊人对于无穷的哲学思想的确拖了后腿，往后上千年里这片土地上的数学体系都没有多少进步。在后世，亚里士多德的潜无穷思想和教会的教义合并。教会宣称，人类必须把实无穷的不可能性当作是不证自明的公理，作为宇宙的一个实际的性质。从现在追溯过去，在无穷的因果链的尽头，必然是一个最初的没有前因的原因，即上帝。不可理解的实无穷因此被归于上帝这个第一推动者的专属权能，凡人只有权探索有限的世界。相较于古希腊的数学家，东方世界的数学家更注重实用。既然0在计算数字的时候很好用，那当然就应该加进来。有了0这个代表空无一物的数字作为分界点，负数也就是一个很自然的结果了。佛门说空，道门说无，有关于无和有、阴和阳的思想在东方几乎是小孩子都能理解的概念。这些在古希腊人眼中不符合现实几何的数字，在金融系统中却有着强大的作用。负数显然是“负债”、“欠款”的一种自然描述，负负得正就是将自己的债务减少，财产当然就变多了。“原来如此。”“有了0与负数的加入，古希腊人所说的成比例的有理数才算是真正完整。”阿基里斯合上手中的书本，在这一刻，她再次听到了那“尤里卡！”的呼喊。她掌握的知识每多一分，这台由阿基米德亲手制作的超级机器人的力量就强上一分。但她掌握的力量越是强大，她就越能理解身旁这个人的强大，明白两者之间的距离有多遥远。在她一开始的想象之中，挥手破灭星辰的力量已经是能被称为神明的存在，就像是她知道的神话传说中的梵天、湿婆那样。在她那时的世界观里，整个世界也就只有那么一点点大，对于星辰、星系都缺乏直观的感受，更别说是抽象的无穷了。所以她也完全不理解为什么穿过一条街道会有这么困难，为什么人与人之间的真正触碰会有这么困难。这些听起来连小孩子都能轻松做到的简单事情，却随着两人探索的旅程一步步升级，变成了比毁灭一个有着几千亿颗恒星的星系还要困难得多的难题。