“离散和连续，可数无穷和不可数无穷，康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中，被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”“在数学领域中，康托尔的集合论与超穷数理论说是开天辟地也不为过。”“其中最关键的一点就是，康托尔发现了无穷也是有不同的等级的。”“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大，那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个？”“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”李恒靠在那棵光秃秃的枣树下，将手中的一片树叶折叠成立体的形状。“更多的维度需要更多的坐标进行确定，二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”“这一点在微积分的计算中表现得很明显，一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”“将一块面积有限的圆饼分割展开，能够形成一条无限长度的链条。”“在高维空间中是有限大小的物体，在低维空间中却是无限大的，这似乎就是在说明，高维空间是更大的无穷大。”“可惜，就像之前说过的那样，康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”“在无穷大的世界里，人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”“为了寻找更大的基数，康托尔以集合论为基础重新出发，从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”一个集合包含三个元素。这个集合的非空子集为，，，，，，，共有7个。最后再加上空集，总共有2^3个子集。类似的，可以证明对包含n个元素的集合，其子集的数量是2^n个。这一点对于空集也是成立的。空集中的元素为0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集数量为1，也就是非空集合。这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。，，}…这组序列就代表了自然数0，1，2…。利用空集作为一切的基础，生成整个自然数序列。“事实上，2这个数字在这里有更丰富的意义。”“为什么是2，而不是3或者10？”“本质上2这个数字代表了一种二元选择——也就是判定是或否。”“从一个集合包含的元素来构造其全体子集的过程，实际上就是一连串的判定过程。”“集合中的每一个元素都只有两种可能，属于这个集合，或者不属于这个集合，没有其他情况。”“3个元素，每一个元素都有是、否两种可能，总共就是8种可能性。”“通过判定集合中的每一个元素是否属于这个集合，可以构造出一个新的集合。”“这个新集合包含的元素是原集合的全体子集，它被称为幂集。”“新的幂集显然大于原来的集合，康托尔证明了即使集合是无穷的，它的幂集的基数也总是大于它。”“这就是幂集公理。”“利用幂集公理，就能构造出一个新的更大的无穷集合，也就是2^0=1”“0，1，2，…直到阿列夫无限。”“这里的无限用的是超穷序数w，也就是从最初的0开始，经过无限次幂集构造后得到的集合。”“这一系列的数字就是所谓的阿列夫数。”“在这之后，还可以利用构造幂集的方式继续创造更大的集合，比如类似于超穷序数中e不动点的阿列夫不动点，满足a=a。”“每一个超穷序数下标代表的是幂集构造的次数，是在无穷大领域的跳跃。”手中绿色的树叶上流动的白色文字停留在了阿列夫不动点那里，李恒将这些文字全部抹去，接着道：“这些属于扩展阅读的部分，回到连续统的问题。”“自然数集的幂集的基数为1，康托尔接下来又证明了这个集合无法与自然数集合之间形成一一对应。”“也就是说，1同样是不可数无穷。”“证明自然数集的幂集不可数的对角线法证明与全体实数不可数的证明非常的相似。”“现在，自然数的幂集和所有实数的基数都大于0，一个很自然的想法就是，自然数的幂集基数是否和全体实数一样。”“连续统的基数c=1？”“这就是康托尔的集合论中最深刻的问题之一，在这个问题上遇到的困难也是导致他严重精神问题的重要原因。”李恒轻轻弹了弹食指，将手中写满了白色粉笔字的绿叶扔了出去，这片绿叶在下一刻就覆盖了整间精神病。在阿基里斯的视角中，这片叶子在同一时刻出现在了天地间的所有地方，上面演化着这个无穷小的无理数世界所有的可能性。她在上面看到了无穷无尽的太阳，每一个太阳里都有牛顿和莱布尼茨。树叶上也显照出无数个精神病院，里面有的枣树是光秃秃的，有的则依旧挂满了鲜红的红枣，不变的是那个白发苍苍眼神呆滞的躺平老头。无论是哪一间精神病院，那里都有两个闯入此间，外貌形同双胞胎的小孩。占尽未来，一切可能发生的都同时发生了，这些树叶上映照出的每一个世界都是与这里一样真实的存在。那些是在不同世界中的阿基里斯，以及在她们身边的同一个李恒。漫天绿叶消失不见，李恒将叶片收回掌心，指尖摩挲着上面的纹路道：“在直觉上，这个结果似乎是很显然的。”“康托尔用有理数序列表示实数的方法与戴德金分割得到的连续实数轴是等价的。”“用二进制无限小数的形式来表示，一个无限长的数字序列，每一个位置上都有0和1两种可能。”“一个无限大的宇宙，其所有可能的状态就是2^0，占尽一个无限宇宙的所有可能性，就能跳跃到更高层次的无穷大。”这种方式听起来就太简单了。从有限到无限是一次占尽未来，从可数无限到不可数无限是第二次占尽未来。虽然都叫做占尽未来，两者的难度却是全然不同的。构造幂集虽然是无限领域的升级方式，但它远比从有限抵达可数无限要简单。可数无限虽然是最小的无限，但对于有限的凡人具有不可达的性质，只有用无穷公理保证它的真实性。实无限显然是真实存在的，但如何从有限抵达它？不知道，没有任何办法。别说只是区区幂指数，就算定义一堆超运算、超超运算法则也没有半点用。无限以下的任何运算都影响不到它，只能用一个不证自明的无穷公理来解决。但从可数无限到不可数无限之间却存在着明确的法则，只需要用幂集运算就能跳过这一个层次。如果这个世界的量子比特无限复制的方式遵循幂集运算的规则，那么情况就变得很可怕了。每一个时刻的流逝都是宇宙的一次复制，每一次复制都诞生了一个无限宇宙的所有可能性——也就是创造了一个幂集，从0跳到了1。如果真是这样，李恒最初所在的世界就不是对应着整数世界的最小不动点e0，而是直接跳到阿列夫不动点去了。幂集公理的规则下，仅仅只是一次跳跃，就能超过那些花里胡哨的所谓无尽次元世界、量子比特海洋，抵达更高层次的无穷大。在无限领域，因为超穷基数相对于超穷序数更简单的特性，让那一大堆复杂的力量层次看起来没什么用。李恒看向枣树底部那个眼神茫然的躺平老头道：“连续统问题涉及序数和序型。”“真正让康托尔感到困扰的，正是在研究更复杂的超穷序数理论时遇到的难题。”“比起义务教育漏网之鱼也能理解的一一对应和对角线证明，超穷序数的研究就太过专业和复杂了。”我不是义务教育漏网之鱼，现在我好歹也有21世纪地球人的平均水平。阿基里斯在心中低声反驳。她吃掉了营养是中子星32亿倍的莎布尼古拉斯，又吃掉了康托尔亲手种的红枣，现在已经不是最初那个什么都不懂，只会算一百以内加减法的小呆瓜。能理解一些微积分和集合论的基础问题，她应该差不多能达到21世纪地球人的平均知识水平。就是有一点偏科，脑袋里没多少实用的生活常识。不过这也没关系，反正有大善人请她免费吃饭，这日子过得比贫民窟里可舒坦多了。知识就是食物，这不是虚指，而是真的能填饱肚子的。“嗯…的确不算是小呆瓜。”李恒看了看阿基里斯那对少了几分清澈愚蠢的粉色眼眸，满意地点点头。如果是之前那个小笨蛋，知道了用幂集公理生成更大的无穷集合的规则，大概就不把连续统问题当回事了。能明白连续统问题是很困难的难题，这就是很大的进步了，比她那两个随意使用“芝诺的龟”的蠢蛋父母聪明。“简单来说，康托尔证明了一个可数无穷集0的所有可能序型的集合是不可数的。”“这就意味着，还有另外一种截然不同的方法生成无穷集合的无穷等级。”“将可数无穷集所有可能序型的集合称为Z，能够得到以下几个结果。”“c是所有实数的集合，不可数无穷。1是0的幂集，不可数无穷。Z是0的所有序型的集合，不可数无穷。”“c=1？1=Z？”“远比超穷基数更复杂的超穷序数卷入了其中，将这个问题变得困难起来。”“康托尔想要证明的是，不可数无穷集合Z的基数等于1，这样就可以证明在0和c之间不存在中间的集合。”“这个问题被称为连续统假设。”“既然被称作是假设，当然就没有被证明了。”李恒蹲下身体，伸手戳了戳那个躺平的白发老头。“康托尔后半生的痛苦与他和那些反对者的战斗有关，比如之前提起过的克罗内克。”“他是一个聪明的天才，但却不是一个顽强的斗士。”“除了来自外部的攻击，他后半生痛苦的最大来源就是无法证明的连续统假设。”“康托尔认为这个问题是他一生最大的失败。”最大的失败啊…阿基里斯学着李恒的模样蹲在枣树旁，低头盯着那个眼神呆滞的躺平老头。创造了集合论和超穷数理论，取得了开天辟地般的成就，却依旧把自己无法解决的问题看做是人生中最大的失败。聪明的天才也未必就过得比蠢笨的小呆瓜幸福，至少她那对没心没肺的父母就过得比这个住进精神病院的可怜老头好多了。活着的时候没有体会到幸福，死后才被世人奉为伟人，对于在痛苦中死去的本人又有什么意义呢。“天才也有天才的苦恼啊。”阿基里斯轻声一叹。因为是天才，所以对自己的要求自然也是和普通人不一样的。她以前对自己的要求只有吃饱穿暖就够了，这就已经足够幸福。但随着自身处境的变化，也渐渐的开始渴求更多的东西。每个人对自己的期待都是不一样的，聪明人也依旧是人，有着无法解决的问题。“做个躺平老头，每天晒晒太阳，闲来吃两颗红枣，不也挺好的么？”李恒对着地上的躺平老头道。一直保持着眼神呆滞状态的白发老头这时终于有了些许反应，他动了动眼珠子，目光聚焦在那颗光秃秃的枣树上。“额，他种的红枣都被我们两个给吃光了。”阿基里斯看着老头的目光有些不太好意思，这棵枣树可不是别人扔在垃圾桶里不要的剩菜剩饭。“不用觉得不好意思，世界上的一切都是我创造的，这老头和他种的红枣也一样。”“再见，躺平老头。”李恒从地上直起身来，那棵光秃秃的枣树也在这时又一次长满了红枣。“康托尔的故事到此为止，但有关于连续统的问题还远远没有结束。”“下一个想要解答这个问题的人是希尔伯特，连续统问题就是着名的希尔伯特第一问。”时空变换，精神病院消失不见，取而代之的是一条清澈的小河，河边的草地上伫立着一块墓碑。“墓碑？”阿基里斯看着墓碑上的黑白照片，心中略微有些无语。毕达哥拉斯在追寻无穷之路上变成了一只怪物，康托尔成了精神病院里的躺平老头。希尔伯特更惨，只剩下了一块墓碑和一张黑白照片，墓穴里空空荡荡什么都没有。“嗯，墓碑。”李恒走到墓碑前，将手中那片从康托尔的枣树上取下的绿叶放到墓碑前。阿基里斯微微眯起眼睛，她发现绿叶上写着两句新的文字。『我们必须知道，我们必将知道。』这是希尔伯特的名言，以此作为对那些信奉不可知论之人的反击。他认为每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答：或者给所提问题以实际的肯定答案；或者证明问题是不可能的，因此所有企图证明它成立的努力必然失败。所有的数学问题或者为真，或者为假，不存在其他情况。李恒看向阿基里斯肩膀上写着“排中律”字样的小便签。“在数学中有两种证明，一种叫做构造性证明，它会给出具体的例证。”“另一种则叫做非构造性证明，或者称作存在性证明，它所使用的规则就是排中律。”“希尔伯特就是非构造性证明的大师。”“利用排中律和反证法，即使并不知道具体的对象到底是什么，也能证明它存在。”“连续统问题的本质就与排中律有关。”“戴德金分割用有理数分割定义实数，并没有给定一些得以构造出集合A和b的数学规则。”“『如果数轴可以划分为A和b』，却没有给出任何可以实际构造出这些集合的方法或程序，”“无论如何，这些集合实际上是不可构造或验证的。”“不仅如此，康托尔证明实数集c、自然数集的幂集1等等集合是不可数无穷时使用的也是反证法，依赖于排中律。”阿基里斯从那写着“我们必须知道，我们必将知道”的叶片上收回目光，看向自己肩膀上贴着的便签。“排中律有问题？”在不可数无穷上遇到的困难似乎就是源于排中律。一个数学命题为真，或者为假，这应该是理所当然的。“没错，排中律就是第三次数学危机的源头。”“更深入的说，是排中律隐藏着的人类最基础的逻辑问题。”李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：“说谎者悖论、上帝全能悖论、理发师悖论等等。”“所有这些悖论的本质都是自我指涉问题。”“『我说的这句话是谎话』，这句话是真是假？”如果说的是真话，这句话就是谎话。如果这句话是谎话，那么这句话就是真话。这个古老的逻辑悖论就是第三次数学危机的根源。它在康托尔的朴素集合论中被放大，成为了一个必须解决的问题。