天空万里无云，耀眼的太阳炙烤着大地，一座安静的砖房里，一名头发灰白的老人坐在木椅子上低声抱怨道：“医生，这天气太冷了。”老人穿着量身裁剪的西装，衣摆整齐地塞进裤子里，灰色的头发从前额向后梳得一丝不乱，戴着一副常见的圆框眼镜。即使在阳光的照耀下室内的温度已经接近了夏天，这名看起来一丝不苟的老人依旧穿着厚厚的毛衣。椅子对面的办公桌后看不到人影，只有一张巨大的灰白色纸质报纸遮挡住了前来看病的老人的视线。“嗯…的确是有一些冷。”“阿基里斯，再给壁炉添上一些柴火，不要冻着这位老先生。”一旁身上同样包裹得严严实实的白发女孩应声行动，她的目光看向一旁燃烧着温暖橙色火焰的壁炉。也不见她有什么具体的动作，下一刻那壁炉里的火焰便像是被施了魔法一样熊熊燃烧，看起来比透过窗户照进来的阳光还要闪亮一些。“噢，这感觉可真不错。”戴着圆框眼镜的老人感受着近在咫尺的火焰略微放松了一下身体，他的眼睛看向那位隐藏在宽大报纸背后的医生。“说实话，医生，若不是因为害怕失约会让我的妻子生气，我根本不想来这里。”“我并不觉得自己在接受治疗，我们之间的会面不如说是定期的好友聊天。”隐藏在报纸背后的医生却并不像往常的会面一样去关注老人的精神状态。他不再试图去扭转老人的想法，不再试图去挑战患者——他表现得对眼前的病人漠不关心，完全沉浸在自己眼前的报纸上。老人看到医生握着报纸边缘的手指略微收紧了几分，听到他口中低声喃喃道：“连续统问题，明明是在人类的理性逻辑中诞生的问题，最终却只能得到一个不可证明为真也不可证明为假的结论。”『连续统』这个字眼让表情一丝不苟的老人突然集中了精神，他用不符合自己那干瘦外表的哄亮声音对着医生道：“连续统假设只是在某些形式系统中不可证明也不可证伪。”“从已接受的集合论公理系统出发，得到对康托尔猜想不可判定性的证明，这绝不是问题的解决。”“这只是因为当前人类的数学体系还不够完备，尚且无法解答这个问题。”“连续统假设一定有一个确定的解答，或者为真或者为假。”“事实上，我有强烈的直觉，康托尔的连续统假设是错的！”“最近这段时间我已经找到了一些证明的思路，连续统的基数应该是2…”这个往常总是不苟言笑，将治疗自己精神病的医生当做敌人对待的顽固老头开始滔滔不绝地开始讲述起了自己对连续统问题的证明方法。在他面前作为的医生倒一反常态，从以前那个试图扭转病人想法的敌人变成了一个倾听者，偶尔提出一些自己的问题。直到近一个小时过去之后，戴着圆框眼镜的老人才慢慢地从座椅上站起身来，语气有些可惜地说道：“医生，可惜你对数理逻辑的了解太少了，否则你应该是个很好的交流者。”说到这里，老人陷入了沉默，表情变得有些晦暗。“就像你已经死去的老朋友，爱因斯坦和冯诺依曼？”“可惜，我只是一个普通的精神病医生，而不是闻名于世的物理学家或者大数学家。”“不过，虽然对数理逻辑的了解很少，但我个人对连续统问题却很感兴趣。”“毕竟就算是小孩子都知道，物体的运动轨迹与直观的连续性是一体两面的概念。”“如果连续统问题没有一个确切的答案，那世间万物又是如何能从静止走向运动的？”“你的老朋友爱因斯坦就是相对论的创立者，时空连续统正是广义相对论的理论基础。”提起老朋友的相对论，老人脸上晦暗的表情顿时消失不见，露出了感兴趣的笑容道：“不错，广义相对论，我还用它建立了一个旋转宇宙模型，那里允许时间旅行发生。”“医生，下个星期的治疗我会如约到来的。”看到老人转身离开了房间，遮挡着自己面容的精神病医生才放下了手中那份宽大的报纸，露出了与一旁白发女孩一模一样的面容。在报纸背后隐藏着一份纸质手稿，上面写着如下的一段文字：『患者：库尔特·哥德尔，64岁。』『患者坚信未能实现自己的人生目标，因此很“失败”，并由此推断出别人把他视作没用的人。』『害怕失业，担心失去在研究院的职位，认为自己在过去35年都没有产出过像样的成果。』『独自搞研究，无论是工作方式还是研究领域都与主流格格不入，为没能取得与年轻时比肩的成就而深感内疚。』『不断地妄想，觉得哥哥就是想害死他的幕后黑手——这样哥哥就可以抢走他的妻子、房子，还有在研究院的职位。』『患者对自己幻想的现实坚信不疑，谁试图反驳他等于认为他的认知有误，会加剧患者对自己身为学者的怀疑。』『如果承认他的认知是客观的，能够准确地描述和表达自我，就会掉入他逻辑自洽的结论。不然，他就会觉得有人要骗他而出现情绪波动。』“被害妄想症、坚定不移地相信阴谋论，不出所料，又是一个精神病人。”阿基里斯看着桌上的那份病历记录见怪不怪地低声感叹一句。现在她都有一种感觉，这些追求真理的数学家就像是恐怖小说故事中的主角。他们窥探了超出人类智慧边界的诡异之物，所以才会一个个都出现了精神问题。“不，恰恰相反。”“正因为这些数学家出现了人类直观可见的精神问题，躁郁症、被害妄想症等等，才说明他们其实根本没有窥探到那个超出人类智慧边界的无限世界。”李恒敲了敲桌子上的病历记录道：“哥德尔称自己是唯心的、神学的，他相信存在其他世界，其中包括人死后的世界。”“哪怕再模糊，只要生命中的际遇和生命本身有任何微妙的意义，人类就不应该把肉身的消失看作一种结束，而应视其为另一种存在的开始。”在哥德尔的认知里，人类的『心』和大脑是不一样的，在表面的物理大脑之外，人类的心隐藏着超越物理的力量。这里的『心』就扮演着类似于灵魂、真灵、三魂七魄的功能，它将人类的思想链接到一个超越物理限制的纯粹理念世界。人类的物理大脑是有限的，但心却是无限的，因此人类所能创造的有限的计算机器永远也不可能超越人心。“但这一点我不认可，以我现在的力量，并没有发现任何超越物理大脑限制的人心。”“人心就是大脑，人的意识就是物质构成的血肉细胞的复杂物理计算，除此之外别无他物。”李恒捏了捏自己的手掌，在这一点上，他的想法是站在图灵那一边的。人类是物理世界的一部分，人的认知不会超过物理世界的计算极限。这些精神病症也根本不是因为人类那不可见的无限心灵窥探到了无限的世界，单纯只是源于大脑的器质性病变而已。随手将哥德尔的病例记录用报纸盖上，李恒从临时精神科医生的身份上回归：“说回集合论的问题。”“康托尔在建立集合论的工作中就已经发现了康托尔悖论，或者将其称为最大基数悖论。”“任一集合的基数小于其幂集的基数，根据概括规则，可由一切集合组成集合S。”“S的基数小于其幂集p的基数。但是，p又是一切集合构成的集合S的一个子集，即p的基数小于或等于S的基数，由此产生逻辑矛盾。”“第二个悖论，最大序数悖论，同样因为所有序数的集合而产生了类似的逻辑矛盾。”“最后一个，罗愫悖论。”“这个悖论比上面两个悖论更简单，但因此威力更强大，动摇了集合论的基础。”把所有集合分为两类，一类是正常集合，例如所有自然数组成的集合。这类集合的特点是，集合本身不能作为自己的一个元素。非正常集合，例如，所有集合所组成的集合。这类集合的特点是，集合本身可以作为自己的一个元素。现假设由所有正常集合组成一个集合S。如果S属于自身，则S是非正常集合，它不是由所有正常集合组成的集合，与假设矛盾。如果S不属于自身，则它是正常集合，所以它是由所有正常集合组成的集合S的一个元素，矛盾。写成符号形式就是：S∈S→SS，SS→S∈S。以上三个集合论中的悖论本质上都源于自我指涉问题。因为假定以自身为元素的集合存在，所以出现了不满足排中律的自我矛盾的命题。ZF公理系统解决这个矛盾的办法是使用正则性公理。它禁止将一个集合作为其自身的元素，禁止了诸如“所有集合的集合”和“所有序数的集合”这样的陈述。另一个NbG公理系统，这里的G就是哥德尔。它将“所有集合的集合”称为“真类”，将类与集合分离，从而避免出现自指悖论。“接下来是不是就是那个很着名的哥德尔不完备定理了？”阿基里斯靠在壁炉旁低声问道。房间里的温度已经被火焰加热到近似于炎炎夏日的温度，很难想象那个64岁的干瘦老人是如何在这样的环境中裹着厚厚的毛衣还会感到冷。“比起广为流传的哥德尔不完备定理，先要提起的是哥德尔完备性定理。”“从这个定理上，能看出自我指涉问题是如何与实无穷扯上联系的。”“哥德尔完全性定理研究的内容是一阶谓词逻辑，或者说是有限函数演算。”“它表明命题逻辑和一阶逻辑具有可靠性和完备性。”“其中可靠性指可以被证明的一定为真，完备性指一切为真的命题都可以被证明。”“简单来说就是，至少在有限的范围内，用公理和证明机制足以推导出所有普遍成立的命题。”“但是一阶谓词逻辑是很弱的，它无法处理无限的概念。”“最基本的一阶算术系统，用来描述自然数的皮亚诺公理就超出了这条定理的范围。”“在涉及到实无穷的时候，不完备性出现了。”哥德尔不完备定理有两条内容。第一条，任何一致的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，就存在一个在系统中不能被证明的真命题。如果一个命题为真，直觉上总是可以在系统内被证明出来，而不完备性定理否认了这一点。第二条，任何一致的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能证明其本身的一致性。也就是说，一个公理系统的自洽性是无法在自身体系内被证明的，必须依赖于更高阶的系统。在皮亚诺算术公理定义的自然数系统中，古德斯坦定理就是这样一个例子。它是一条有关于自然数的命题，但在定义这个命题的公理系统内部，却无法证明这个命题。该定理可以在更高阶的系统下证明为真，但在皮亚诺算术系统内是不可证的。连续统假设也是这样一个问题。连续统问题追问的是实数子集的大小，其相关命题以实数子集为概括对象。每个实数相当于一个自然数子集，连续统问题所谈论的对象就成了全体自然数子集所构成的集合的子集。将直接概括自然数的算术称为一阶算术，以自然数子集或者实数为概括对象的算术为二阶算术。那么连续统问题就属于三阶算术。康托尔是在由戴德金分割定义的实数系中发现的连续统假设，但这个问题在实数模型内部却是不可判定的。哥德尔形式证明了连续统假设的一般形式与ZFc公理是一致的。如果把连续统假设作为公理加入集合论的这些公理中，不会产生任何逻辑矛盾。科恩证明了一般的连续统假设的否定命题也可以加入ZFc中而不产生矛盾。因此，连续统假设与标准的集合论公理是互相独立的。它类似于平行公理相对于欧几里得几何的其他公理的地位，集合论的标准公理既不能证明也不能否定它。根据连续统假设是否成立，可以像是欧几里得几何与非欧几何一样，构造出不同的集合论系统。这就是康托尔失败的原因。连续统假设的逻辑独立性就意味着它既不为真又不为假。集合论中乱成一团的悖论和不可证性可以说是允许非构造的概念——尤其是实无穷，进入数学的自然后果。