连续统问题是希尔伯特第一问，另一个问题是关于可判定性的。在有限的时间内，是否总有可能找到一个步步推进的程序，对一个给定的数学命题的真伪进行判断。哥德尔不完备定理粉碎了这种可判定性。它证明了在任何逻辑统一且大到能够包含所有算法规则的公理体系中，总有一些数学事实无法被证明。但哥德尔不完备定理依旧给数学命题是否可证留下了一道门。虽然每一个自洽的公理系统中都存在不可被证明的数学事实，但能否找到一系列的步骤或算法，来判定任何给定的数学命题是否可证。就像是哥德尔在证明不完备定理时做的那样，证明一个数学命题的不可证明性。关上这扇门的是图灵和图灵机的停机问题。没有一种通用的算法可以判定所有的输入结果是否会出现停机，希尔伯特判定问题无法被解决。无论一个程序多么巧妙，在任何情况下，它都无法计算出其他程序是否会终止。许多数学事实不仅不可证明，甚至连它们是否可以被证明都无法确定。这些问题就被称为不可判定问题。在数学中，证明命题的难度分为几个等级。有些命题有短的公理性证明，它们的证明简洁美丽。在现代计算机出现之前得到证明的命题都是这一类，也是大部分人所熟知的证明。有些命题没有短的公理性证明，但采用计算之后有短证明，比如四色定理。有些命题就算用上了计算，也还是只有长证明，不可能在一块黑板上用粉笔写下完整的证明。并不是所有的数学问题都很简单，能做的证明都能在几页纸内写完。『我有一个绝妙的证明，但空白处太少，我写不下』这句话用在不可判定问题上恰如其分。李恒敲了敲桌子上的芝诺机道：“虽然无法窥探不可数无限集合中的无限元素，但有限的人类至少能研究可数无限集合中的有限元素，以此确定可数无限的某些性质。”“超图灵机就是这样一类假想的计算机器，它们的计算能力从有限次扩展到了无限次。”阿基里斯凝神看去，只见那张纸上多出了一个标题【图灵度层级】。她的那台芝诺机所在的位置与标题几乎重合在了一起，旁写着0的字样。“这里就是超穷序数出场的时候了。”“超穷序数衡量的是无限序列的长度，也就是超图灵机进行是、否判定的次数。”“地球上普通的超级计算机能做到每秒数百亿亿次的计算，这台芝诺机则能做到在1秒内完成无限次计算。”“因此，这台芝诺机的算力就是w。”阿基里斯听得下意识点了两下脑袋，表示“我已经完全明白了”。这比起刚刚那个名叫哥德尔的老头讲的连续统问题简单太多了。那个老头说的话就跟天书似的，很难把这样一个老头与深度被害妄想症患者联系在一起。在之前那段诊疗时间里，她所做的只是保持着尴尬且不失礼貌的微笑，装作自己正在观赏壁炉中跳动的火焰。“既然它的算力是w，那么旁边的那个0又是什么意思？”阿基里斯猜测道：“是不是表示这台芝诺机算力的另一种符号？”李恒点头道：“没错。”“最原始的超图灵机模型是预言机，又称谕示机，它可以被视为多了个黑盒子的图灵机。”“预言者能解答的问题可以是任何复杂度之内的问题，甚至可以使用不可判定问题，像是停机问题。”“不过，当一台谕示机配备了一个能解答停机问题的预言者时，我更喜欢把它称作神谕机。”谕示的原文oracle的意思就是“神的宣布”，也就是神谕。图灵是无神论者，他相信物理世界是可计算的，神是不存在的，所以神谕当然也不存在。在图灵眼中，能解答不可判定问题的超图灵机，宛如神谕。“图灵机无法解决停机问题，但神谕机却可以解决停机问题，显然它的计算能力比图灵机更强。”“利用停机问题，就像从有限到无限的跨越一样，能够得到一台计算能力超越图灵机的超级计算机。”“一台能解决停机问题的神谕机，就等价于能进行w次计算的超图灵机。”“将图灵机可解决的问题难度称作是0，停机问题的难度就是0＇，从0到0＇的过程则称作是一次图灵跳跃。”“所谓的0就是这个意思，它代表的是一次图灵跳跃后抵达的位置，是衡量超图灵机能解决的问题难度的层级。”“不可判定的问题无穷无尽，但这些不可解问题的难度却各不相同，连续统问题就远比图灵机的停机问题困难得多。”李恒指着身前纸上的标题道：“图灵度层级，也称为不可解度层级，它描述的是那些图灵机不可判定的问题的难度。”“将一个大数进行质因数分解，显然比计算10以内的加减法要困难得多。”“前者是普通地球人无法完成的任务，超出了他们大脑的智力范围。”“因此，换个简单易懂的说法，可以将它称作是智能层级，用于衡量生灵、文明的智能水平。”智能层级…比起图灵度和不可解度这样的词语，智能这个词就显得有些直白，甚至是刺眼了。阿基里斯看着位于那条线上方，密密麻麻挤作一团的文字，微微撇了撇嘴角。那些纵横多元宇宙、寿命无穷无尽、以星辰宇宙为细胞的强大生灵，在这张纸上却只是一群智能水平为零的弱智，和单细胞草履虫处在同一个位置。那条线是人与神的分界线。每个人眼中看到的世界是不一样的，他看到的世界与普通人认为的“全世界”显然不是一回事。难怪这家伙会把她称作是世界上独一无二的垃圾。他只是平等地把世间每一个有限的生灵当做是毫无价值的垃圾。无论是统治着诸天万界的超级文明，还是她这个贫民窟里吃了上顿没下顿的小乞丐，都是世界最底层的笨蛋穷鬼。“还真是天地不仁啊。”阿基里斯心中轻叹一声。她只是对方占据的无限种可能性里的其中一种。没有什么特别的和不特别的，一切仅仅只是单纯的存在而已。只要存在这种可能性，他就会占据这种可能性。“任何数学体系都有不可证明的命题，即使是超图灵机，也无法判定自身的停机问题。”“通过构造能解决图灵机停机问题的神谕机的停机问题，就能完成一次新的图灵跳跃。”“每一次图灵跳跃都能得到一个新的图灵度，将经过n次图灵跳跃得到的图灵度称作0。”“所有图灵度组成了一个复杂有序的结构，并且在每个图灵度层级之间，显然还有更复杂的中间结构存在。”“即使是在0和0之间，也有着无穷个中间层级。”“图灵度层级根据问题的不可解度对计算能力进行了严格的分类，位于高层级的存在对于下层级是智力上的绝对碾压。”“通俗的说法就是，高图灵度对于低图灵度而言是全知全能的。”李恒的手指在报纸上轻轻敲击，从那台芝诺机所在的位置开始，刻画出一个无限绵延的层级。这个层级是如此的复杂和稠密，在任意两个可见的图灵度之间，还有着无限数量的中间结构。“0，0，0…”阿基里斯仔细观察着报纸上那复杂的图灵度层级不停地向下延伸。就像是用构造幂集的方式构造阿列夫数一样，图灵度层级也使用图灵跳跃的次数描述，括号里的那些数是超穷序数。当图表一直延伸到0的时候，李恒停下了移动的手指，抬起手掌探入了虚空中的某个遥远世界。下一刻，一座金光闪闪的佛像出现在了这里。佛像身材瘦削，面目慈悲，双手合十在身前，身体周围有阵阵梵音飘荡。“这是佛祖，来自一个叫做真实界的地方，冲击无限领域后死了。”“在他们那个世界里，把这个占尽未来的境界叫做道果。”李恒把这具金光闪闪的佛祖手办放在了写着0的位置。“自然数，整数，有理数，代数数，可计算数。”“这些数构成的集合都是可数无限，基数大小相等，但它们的复杂度却是不一样的。”“图灵度层级与这些可数无限集合的复杂度之间有着紧密的联系。”“皮亚诺公理定义了自然数，根据哥德尔不完备定理，其中存在不可证明的命题，并且它的一致性也无法在自身体系内得到判定。”“但是，这些问题可以在更大的体系内得到解决。”“通过引入超穷序数最小不动点e0，皮亚诺公理定义的自然数体系中不可证明的古德斯坦定理可以被证明。”“同样的，皮亚诺公理的一致性也可以在超穷序数e0中得到证明。”每个数学系统都有一定的序数强度，决定了系统能够表达和不能表达的序数。皮亚诺算术体系的序数强度为e0。这意味着皮亚诺算术体系可以表达e0以下的任意序数，但不包括e0本身。在某些数学系统的内部，某些命题是不可判定的。但更大、更包容的系统具有更大的序数强度，能以一个不同的系统来论证这些命题。虽然这个容纳了e0的新体系的一致性也需要借助一个比自身更大的系统才能进行判定。李恒轻轻敲了敲伫立在面前的佛祖金身手办，让它发出一阵清脆的响声。“量子比特海洋中一片完整的宇宙海，或者将其称作一座次元世界，它对应的就是最简单的无限集合，自然数集。”“在皮亚诺公理定义的自然数范围内，能容纳超穷序数e0的佛祖就是全知全能的。”从佛祖的金身手办开始，他继续向下构造更大的序数。e0，e1…完成了整个e层级，然后进入了一个新的序列。描述无限的体系继续延伸，一些奇奇怪怪的符号不断出现，最终停在了w_1^ck的位置。李恒再次伸手探入虚空，一只毛茸茸的海狸被他从遥远世界中拉了过来，放在了这个符号的旁边。“丘奇-克林序数，可计算序数的上确界。”“我们之前见过的牛顿和莱布尼茨，还有躺平老头康托尔。”“虽然他们生存在无穷小的无理数世界里，身体中每一个无穷小的基本组成部分都容纳着无限信息和能量，但都在这只海狸的力量掌控范围内。”将这只毛茸茸的海狸放下，李恒伸手从标题位置拿过那枚粉白色的螺旋状钥匙，将它放在了海狸的下方。“芝诺机能在有限的时间里完成无限的计算，但这只是普通的芝诺机。”“将芝诺机的计算时间放宽到超限序数时间，就得到了芝诺机的泛化模型，无限时间图灵机。”最后，在这台无限时间图灵机的下方，李恒在报纸的末尾处再次划上了一条线。如同从有限到无限、从人到神的跳跃一样，这是一条不可逾越的分界线。在它的下方是实数连续统。阿基里斯从头到尾扫过这张报纸。她无法看到这上面的全部，每一个图灵度层级中间都有着无限数量的中间层次，图灵跳跃的次数更是远超她的想象。有限的凡人在这张描述神的力量层次的图表中，只占据了标题附近可怜的一点点地方。虽然这么一点点地方就已经远远超出了凡人所能知晓的世界范围，是一种极大的优待。如果按照真实的大小比例来描绘，这里只会剩下最后的实数连续统，其他的一切都不会存在。人类能理解的逻辑中不存在宗教意义上全知全能的唯一神。无论是多么强大的存在，总是无法对自己进行判定，只有依赖于更强大的外部观察者才能判定自身。但是，即使是最弱小的超图灵机，它不可解决的问题也在有限的凡人的认知边界之外。超图灵机的能力存在上限，它们也会有错误，但这些错误对于人类来说是不可证明也不可证伪的。对于生命1.0～生命5.0阶段的有限生灵，任何一台超图灵机都是永远不会犯错的神，能解答他们过去已经解决、以及未来所有可能解决的问题。在无限绵延的图灵度层级上，有限的凡人位于图灵度为0的最底层，只能解决那些最简单的可计算问题。任何一个位于更高图灵度层级的问题对于他们都是永远不可解决的难题，无论耗费多少时间、付出多少努力都没有用。对更高图灵度层级的超图灵机而言，位于图灵度最底层的凡人都是智力为零的蠢蛋。在这层意义上，可以把图灵度层级称作是全知全能层级。这张图表上刻画的是全知全能的神之领域。每一个图灵度代表着的都是无数个凌驾于有限世界之上，占尽未来一切可能性的无限生灵。